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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  F*[S)H  
K9dGWXT`  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 8W~[zGgQ  
yej@vh#F  
　　1、三角函数本质： L ;5CA  
IU FFU>lz  
　　三角函数的本质来源于定义 bMY+kg<q  
[(^`PRx  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 L^tx}Fzh(  
LbR@cA*J  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Q 1:.)fGS  
rHXaxaTV  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 4%WT Cs  
Jv8?S4  
　　推导： A!\/~Mq1  
eS+zmjn &  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 q8i7 zH9  
@=QdSy8  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ~e tu 3)W  
F-OvX  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) jeEd0 jxw  
[{I0^+"  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ekle`Bxk  
!pkAnaW0u  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 9| hp  
l^4XTy@6  
　　[1] O23-=B$ )  
.C3m*dQ_  
　　两角和公式 @- Yn1N;  
|Q#: k"hJ  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB iI0(3Orl  
:_7o8(5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  y?32Chn  
/fmc'2U  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Mr g@Sa  
 B\@\vGX  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB i] Sx(bG  
]NK(Ey  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tN7L$CN)  
w2hn/^L  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) W )x:7rXh  
7g{{'mJlA  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  w~1   
*U P[|!uX  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) }AEC02.S  
rMM~;! -  
倍角公式 #[wNqxH Y  
4r6-EDQB  
　　Sin2A=2SinA•CosA ,/)!W`r\+  
#84}wv@  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 X& 1(u>t  
zss>v^MtN  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） uc'#v!  
`1y %)5  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 1/}> 3Fg  
Q[T[+IF  
三倍角公式 }xPh9O8  
Xxo(|1C.o  
　　 G"@, t:  
X(80&$5)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) !I9$J^cG(  
2_h(] >  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) n[kd-X1j  
1K^w2A(&  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) B-/)FvbI  
TL 0[!|3f  
三倍角公式推导 ?;H d  
-md|1U2  
　　sin3a 5n Sfpo  
!l%'n|"  
　　=sin(2a+a) ug\Nyd:  
hc}  
　　=sin2acosa+cos2asina M59o)t  
Dix 3pa  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina H )Ocs<  
mlRBl]rc&  
　　=3sina-4sin³a >N(P 8  
XN~g+)?K  
　　cos3a U/ Z<eL  
]P9s^ ;  
　　=cos(2a+a) b\yCw7Pg  
vY9O1Qt~@  
　　=cos2acosa-sin2asina ]/a k5jW  
m=~)S0{  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c&A[U'5>u  
tv:vi>y]X  
　　=4cos³a-3cosa W} ,dA'hd  
9c,G,H`*i  
　　sin3a=3sina-4sin³a `F\`sg S9  
b^PJ6d  
　　=4sina(3/4-sin²a) --^\@3  
&_Rs[TE"  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6fpO=q|B  
)W9|r]ge_  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) o[nT.%L  
;DU#. "_#  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )+^#gjN  
rCVa7%_g  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !Tg]VUd=-  
WbaT@%v:  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) NwG9C?i  
~;.BH;;3*  
　　cos3a=4cos³a-3cosa fK" Mt   
z  wfAR  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  d^P6Ev  
\`B} G ;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ?k:o<c  
#cig2?BI  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ;>C%W:/a  
L MOZrJ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ?OaY(DT  
Gd PLV>[8  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} uu%'( E  
}NoCDZ/  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) j+":Wm)  
fhefP)9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }q0}Tq>Q  
R:lMbu  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @ ?RR2pqw|  
e4x;[<Gj~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) kFxrs6(3{  
.&,C&-1X  
　　上述两式相比可得 k|~:u^,,  
X}xl=33*  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 45v 7$_ToM  
tLGp  
半角公式 HFjvvD1[  
8@ l/_pc  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); p~Q8m  
|,GZ!B_a-g  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1 ,-=M  
[q&n&#h'l  
和差化积 d",@o C  
ctJR[  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j%>5T}*/  
OUDXTxDJ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~ |KR/  
]{I4"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8qE8u[7  
"uqI@wci  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cg98GX+=  
)R{HOD+fr  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) F_Ls-f  
,U.  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) V*3Yj0*1  
B'>UIfL  
积化和差 QM3 maehr  
0[t Dm  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q Ipl  
@%$au+`!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?ik!Q qGvP  
'EWh!2%b  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <!Gx)|!^  
=;"u[_\lh  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] fgdIT}U]  
R1 479[?a  
诱导公式 HsM~=pq-C  
5%vcd. |A  
　　sin(-α) = -sinα 0#_q4  
|U8h]N8J  
　　cos(-α) = cosα _X}@l qylJ  
__ #  
　　sin(π/2-α) = cosα Bj9 &  
JTu!O>NC  
　　cos(π/2-α) = sinα Pbr-4  
P1q)  
　　sin(π/2+α) = cosα 9N z<<@G  
A0Pp&>:  
　　cos(π/2+α) = -sinα dfP>&]<  
7nF4Z Z[  
　　sin(π-α) = sinα XO0!|a4#  
*#k8$\mYY8  
　　cos(π-α) = -cosα [Qu[24H  
PpQ 4V.rb  
　　sin(π+α) = -sinα J+x#XYCd  
ax04GAw.U  
　　cos(π+α) = -cosα v:Sh'11U  
)zFyL2&3S  
　　tanA= sinA/cosA !I\_$dfa  
AZuLYgx(k  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 8#x {dUc  
r}''9o/;\8  
　　tan（π/2－α）＝cotα e`o]t(  
v#PJ-$*;9  
　　tan（π－α）＝－tanα To5LJ;i  
pK+=~o  
　　tan（π＋α）＝tanα ry]E::T*  
K$P`U*  
万能公式 ~-m3)W=M  
hBVQ\D;C  
　　 =Ou3no  
 &^&7gz  
其它公式 EpbsgDibF  
sul.H5">W  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~ofU8WMA  
1laY)u  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 |_:>_e p  
%sKn(6s  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 xav0uKE  
^8'tY  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 \p:)!<0k  
8k"2( K.r  
　　对于任意非直角三角形,总有 q <R\g  
MvBbVorFS  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC XsWL#\9=r  
 >,|  
　　证: Q1pY#_)4J(  
}6M+= j$  
　　A+B=π-C R +q\|^_  
D>@)*5;][  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 6E %Z^P<  
[]w'FZcg  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2g 5 s  
|k.mY]Kw)  
　　整理可得 " nu',d  
Ymm6C&n  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1+veRnzc  
nERWKS7  
　　得证 {RJZ\0[  
%[WV/ &I  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2nf0Wy}  
8/picP>L  
其他非重点三角函数 ]FQ)^  
iH# S$;  
　　csc(a) = 1/sin(a) -F,"u,q$ L  
,a| x(B"i$  
　　sec(a) = 1/cos(a) :;ukO0Yvo  
-7v%c 88  
　　 6RiP{Q2Y  
vM=3nd`  
双曲函数 BG <b(Ht  
/jFS2!{Z  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5V0 uo-?,  
d7[VyNoh  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 PawH|du  
8I oi!b  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ggQ|F+[ q]  
|J\nBy8 2  
　　公式一： @ti\@jW*vz  
q.;|k1uu  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： L.'/=c I  
v&A:Cd  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Kpe#OOg;  
wYf (b4  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ?BZ3o}d  
e:%MeLj  
　　tan（kπ＋α）= tanα =T_2= J.  
v`O)biXr[  
　　cot（kπ＋α）= cotα zr29dVC:  
hq\wkv~5Z  
　　公式二： \NrBv^Ix  
js)pc"G4  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： $b> jTl  
R'+)3l`z8!  
　　sin（π＋α）= -sinα _B!5vA"+  
QY+IMd jUs  
　　cos（π＋α）= -cosα r`/$6KW  
q/Xneu  
　　tan（π＋α）= tanα 20y'4#b*  
; +7< (E  
　　cot（π＋α）= cotα |bq+,,SCGY  
? s8)N21o  
　　公式三： [lP}/9C}+  
/ o_Q.M>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4"0Gv9G0  
H[%p$Kmax  
　　sin（-α）= -sinα / 6P"  
jc)HA1-<  
　　cos（-α）= cosα HH21#/^ra  
_"Y$4'tc  
　　tan（-α）= -tanα [fc66bj/)  
/lA`idulK  
　　cot（-α）= -cotα W{JD&a$  
Ze%w+wIA8  
　　公式四： l~Y:Rx!E  
Ru$SyoN  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ^q] Ig|_  
RZ:@p8P^9r  
　　sin（π-α）= sinα h3?k5C\c  
p-HX$oSnN  
　　cos（π-α）= -cosα ew}[4  
F,;.Ah%`  
　　tan（π-α）= -tanα OzEU3gpP  
U>~P|lI  
　　cot（π-α）= -cotα z5Ti./[V  
;c6eVj'  
　　公式五： f(dM#:qVo  
od kxn{h  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 01dG 95  
Phu^.T  
　　sin（2π-α）= -sinα ;OgpNz  
PkY7ks?E  
　　cos（2π-α）= cosα xG5*+=O  
]6\3/\+ E  
　　tan（2π-α）= -tanα @6S[FqB>e  
MHW(`#u2   
　　cot（2π-α）= -cotα D? "d$?:  
]quS}jVS9E  
　　公式六： ;AhZTK&J9  
qp3;   
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Ug-yBARe  
m nN?fA  
　　sin（π/2+α）= cosα d.5< Vb  
+p3;^PH}  
　　cos（π/2+α）= -sinα [2(}`O  
<3z3sW  
　　tan（π/2+α）= -cotα  drzxJo  
v3PzAm t  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,24b~L'  
x>1tc  
　　sin（π/2-α）= cosα F7U'?e>Z  
1GDZgP+m  
　　cos（π/2-α）= sinα L*K:k  
D3uW[;7-  
　　tan（π/2-α）= cotα *f3U1[  
%`gtD[ \  
　　cot（π/2-α）= tanα Tr: z+t  
u Q)CqdR  
　　sin（3π/2+α）= -cosα MyiV83&Q~d  
K]RxB  
　　cos（3π/2+α）= sinα $"W&V^D)Y  
mC4w?y<^  
　　tan（3π/2+α）= -cotα pd$H{C[D~v  
<sTJ=XL6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα K+OBZs  
zf3$  
　　sin（3π/2-α）= -cosα YK:|KBx;  
'A-~_EsT#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα aX_RP+ .  
 ^FQ4<C  
　　tan（3π/2-α）= cotα F^6Fc/Os,  
c,Ngi)V~  
　　cot（3π/2-α）= tanα PUXV$myg  
M@sVa@|bS  
　　(以上k∈Z) g^;W'9qXoR  
^LD& ,~iW  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 *Uwz=|-dj  
xwhhkf}  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = a][~)e/z  
mDnd g K  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } sUrRBXqyM  
E!of0"uXZ8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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