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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 A)AbLyB$  
Hs&A~gh&?  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. iV:W1]q  
V[!5EJ,b21  
　　1、三角函数本质： {z7l}4>U  
Z <;h$[  
　　三角函数的本质来源于定义 ;3|ra);  
d_s9a/l~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 _JGQV{oyo  
Po.\(4vX  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 =Q4fJE  
@?QD  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： UqJ%es)\k  
fgPj\-A1c  
　　推导： i-Wu j7=  
#1KB6*qM  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 !HG4w{_<  
S$rjd  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ,e`p|t zo  
e#odL`S.  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) B8=}{1k<  
8!: +eE)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5 qegL,  
[=eg!aH=  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） U0Wun]\"  
R,';8kX7!  
　　[1] PK+:  
$IH< 1Lu0U  
　　两角和公式 Bb%}"|c  
V1WRyT5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB VBVf? ua  
Dp){COwI!  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  'w E)wE8  
;:f*WJZ[  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB skVyxTLS  
a'Er1-`V3  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB FA=Bf7)z1  
Ks";dU XG  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _~DNv[/h  
D`Pf=<hC%  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) h8-Op)h  
"'y s \/  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  k!W- z6  
JL3ae3+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Ye`Ip$]UfZ  
"3wrJ^8  
倍角公式 K<b7UU.I  
8^7$y; }f  
　　Sin2A=2SinA•CosA ~F^yW4{  
GS,f"_tYml  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 g!mf?i1`!  
cuYNraE  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +[mbbd   
KJ  z;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） [?zB(wb]  
c=q}zRk0Lm  
三倍角公式 hs>orYpF  
v{Lu7DPM~  
　　 }L/C5mx)  
R wK<"&;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) sn2#("cZ  
m|yh={9  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) cWRW ?6#?  
=lpgbE)OI@  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) idq}HU  
,G@IF~&Fv  
三倍角公式推导 0EB1qY3X  
'KDsm,=Q.  
　　sin3a ;I-.*EANP  
@k-@GT".F  
　　=sin(2a+a) K"Q;0N  
8d%*Xs0L  
　　=sin2acosa+cos2asina !=3/'9oK,  
_)AIVI,YF  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +lbE?%Br  
OoWqv>  
　　=3sina-4sin³a D!F6fz  
E`4c4Ti9Z  
　　cos3a D*'"-k a  
#;@o`)V6  
　　=cos(2a+a) T'<5T`iU  
^1/NyO2=;  
　　=cos2acosa-sin2asina U%{aPpT  
bm#b>b  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa S;S'$:y  
?Syo(HO  
　　=4cos³a-3cosa {d138g)y  
WIZG mN|N  
　　sin3a=3sina-4sin³a /Z _Zezu  
)37OGdTa  
　　=4sina(3/4-sin²a) ps,64cL  
pGuH7'_y@  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 8Kp;@lP  
dd GtXb`v  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) T;7dQ0|  
]LiPK8K?Q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) SeFsqvDCo  
D|0foKQ.  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]l}HSf/#t  
.$A?Iph#C  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l{cD_q<1  
Y6NP)eAn  
　　cos3a=4cos³a-3cosa k*a>fj[YD  
&jNi=Nm>!  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 4 W\PbRG  
zD<om_F  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $zJuP  
[%#j4Q/0  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) =hUrtF_ w  
[0~4^K )  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) #'n. '  
pvVp _2  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} u2kd*& {  
e%}>7'jg  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (K"r,Sl 9  
Cbi0j3w  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^.w8h8b~j  
{W7U,O<z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] . KTV`M<  
rI#zguo  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &PW{-V .  
w~|Y^P)  
　　上述两式相比可得 ;=-),iTD  
; s-dm!$J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) {fC37E{  
u5|<Fnj"z  
半角公式 q0eto*t  
Nc.Bzz  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); . 1>^R<t$M  
t?a(=]i`  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *gor[2b ,  
Y #yXOG(K  
和差化积 [4Ac",&G  
QLXoA2  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +]GS$#X,  
g.(fB-&d  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =,g^2?,pM  
o8 ]9<M  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }C"cc[dB  
14BY65O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TU1/]=5|!m  
%=~riZc^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (J;"/eepC  
^F=:1f K  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) dpp(,zXV  
Zy<pL  
积化和差 4fY<vVU}  
nU6r+^A'  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u pv55   
"lG}=o%  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )[e"$=@  
t/_NUBVQq  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ?Q m}yqu,  
d '-/C-  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] hr[ '4y  
uw+v+Em0  
诱导公式 K}Bf7X\12  
$h;_]YC-1  
　　sin(-α) = -sinα _+;j"4 =  
){6,y8  
　　cos(-α) = cosα AVI\OB:?  
'}Hw6Pu  
　　sin(π/2-α) = cosα r J3nMfTT  
pu!#HKU  
　　cos(π/2-α) = sinα H|YVJ wRp  
hp!a /  
　　sin(π/2+α) = cosα q%Ap8t  
4`Rzu=oYJS  
　　cos(π/2+α) = -sinα 1_}=/A;(  
;. Q{Az0_  
　　sin(π-α) = sinα WC,D_fk|D  
)KUdkk 1  
　　cos(π-α) = -cosα 472'F tx  
6|sA-  
　　sin(π+α) = -sinα b2T<Oti  
m56@z  
　　cos(π+α) = -cosα p-qo@|3  
k]&o_?  
　　tanA= sinA/cosA &QKKF?6  
yl6gff3  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα > ~ l.'  
!(6h>jYOVB  
　　tan（π/2－α）＝cotα 1h.6[:u1Y  
]K4kf~'A  
　　tan（π－α）＝－tanα yge] u_K,  
ydAF:  
　　tan（π＋α）＝tanα c6]`b`Z0  
Zv2aMX;  
万能公式 %^#YL85  
M2s2?D%wod  
　　 /4.W(s}  
TT0 zJb/  
其它公式 RnHaA]~`l  
+!ao3  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 l,8jV g}I  
Q;7-_I,Q  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 I #`@Z  
Ve350E3_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 c,ED7V V  
Hm=+]Z~"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K*O`<0u  
1u[<qs!=  
　　对于任意非直角三角形,总有 J;Tm @ {  
"6b  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >;Qs^KlB  
\zJbqUy{a  
　　证: &[* $nNc,M  
d[ V8'f}  
　　A+B=π-C "b 0LQP  
pog#mn  
　　tan(A+B)=tan(π-C) UkyrB6`t  
-#~3Yz._-  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Y r?3b  
x{z`'Zm5  
　　整理可得 DSE2(  
Q4UUtf  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC mo8`p[t\`  
?c V)S  
　　得证 wQCO?>O>n  
cG/poH  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 a  64#  
_az5j-Hu  
其他非重点三角函数 < w82F6rD)  
,GjwUX1Uk  
　　csc(a) = 1/sin(a) `=WkzK  
M&irh_:7!  
　　sec(a) = 1/cos(a) uK9%S|e  
XV #8~  
　　 CxTKX  
au!qUDz%  
双曲函数 wXy/hAbh7F  
BGwMQYk  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :%#gvN1  
oSIw>p/d  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =k| 67I  
B0LG7XH  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) F' VC~  
96tX  
　　公式一： 3 lxhXh  
w2+y#-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： V~$E;  
:t3GyoMDz  
　　sin（2kπ＋α）= sinα O 2jg"0n1  
<#"^{2i1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα o?B}|#2p3x  
h8(q:T>r  
　　tan（kπ＋α）= tanα < 4CclQ  
k;- j@:tc/  
　　cot（kπ＋α）= cotα #%b3NLHg<Q  
K8"16=Nmx  
　　公式二： AdvLXj4cI  
g_D>FZ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： eV%LC|O  
g-"|r]Q^{  
　　sin（π＋α）= -sinα # _?8y:[  
Y]m>fLc  
　　cos（π＋α）= -cosα %%MD]^ CqG  
0&Cx~)F <  
　　tan（π＋α）= tanα cqy5ub*  
751u;u]  
　　cot（π＋α）= cotα U<&} Y  
?4AkCS  
　　公式三： d3"~|'% s  
>>6RIn)  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： XK!W:PH  
pbr!ngZ +  
　　sin（-α）= -sinα QGS00iG  
C"Rkh'Hke^  
　　cos（-α）= cosα AAyN&  
!WTb  
　　tan（-α）= -tanα {Ksfj '  
Ajh'944|'>  
　　cot（-α）= -cotα sV <!  
,.t+yf'/0  
　　公式四： Z'kW#?Os  
 8U&/dmy  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： kL9jb  
\" |0@J'[  
　　sin（π-α）= sinα lct= 2!V  
h<PYzoH  
　　cos（π-α）= -cosα L}.g04  
2N;[!c|  
　　tan（π-α）= -tanα My{0&Q Ipb  
:f z}ZJ<  
　　cot（π-α）= -cotα q4\H31_#(  
lD0A;9Z  
　　公式五： L1eP&WyI  
nvV^(k  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ']djpBY  
2Y[jUg$  
　　sin（2π-α）= -sinα C?}3PCaX  
v`LW!C:  
　　cos（2π-α）= cosα {M)D d|p  
Fi>,k,X  
　　tan（2π-α）= -tanα S Lq+kXc  
Wj \-3`  
　　cot（2π-α）= -cotα w.8{N(eo  
+ iE<H O  
　　公式六： '-a5?"c  
CW-8')sa  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： a80P{X_&  
t+2 &rSh+  
　　sin（π/2+α）= cosα F0ohSD!  
CElf=M.}  
　　cos（π/2+α）= -sinα B{`N'>F9n  
#)<^.[T `  
　　tan（π/2+α）= -cotα *}4j$}h`  
`k;:Su  
　　cot（π/2+α）= -tanα &I` ;PI|  
Tkkd}6 $  
　　sin（π/2-α）= cosα ]>'L%.6`R  
~qUq C :-  
　　cos（π/2-α）= sinα )]L\K?%[ <  
p8i58H;^^L  
　　tan（π/2-α）= cotα 0gG)e$J;  
OGv]O?  
　　cot（π/2-α）= tanα TC<'A  
*"oGGFGN  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 6]:Sm\k  
!]/Z 53#V:  
　　cos（3π/2+α）= sinα xAsx,J  
`fh/pD z  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~%qsQR6}  
w^,hfS2W1=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ~8qh^;e]  
BF)pgAW]d  
　　sin（3π/2-α）= -cosα *;*k:h,d  
lEp(G OZx  
　　cos（3π/2-α）= -sinα |B|kSG&=  
;Exgj`n8  
　　tan（3π/2-α）= cotα nv5bU>Lr  
)? ~#s33t/  
　　cot（3π/2-α）= tanα MDN3'X*|  
M *88{  
　　(以上k∈Z) BxN<)U: E!  
!|&)R^D  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ;+s[ [  
"[|} u;  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = /;No   
Wo6e\~nA  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } *)Ny@F0cN  
Vo5Lkd9;7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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