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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;+-R 3I  
SQ;anX  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. BkcFd T  
d`+]Vq2  
　　1、三角函数本质： ,<^[5c  
X%[k|C:J  
　　三角函数的本质来源于定义 ^7%X,`:Tx  
c #Ek# [k  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 /0lo m}  
5+Re_u,%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Y 3!t5vzt  
TQI}:iD  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： !n9RDLxf  
uT!IY<O#  
　　推导： 6(yW%fG  
W]#+DuOw  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 d39>{g7M  
O<PN98&`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) iV`K=p;O  
H1enTKE(x  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -O;'|=#u  
g-1V7^A  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 39/V@~r0  
"R/G=gz_{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） s:Crc4X  
8~SuTc[O  
　　[1] zh#4dXs  
}4/c.~ 7LA  
　　两角和公式 -[ioS  
S>AW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB k+aY)i5cou  
@N< D[&6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  9TF%!9  
VDhCuc@6  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB UBn?2xLm4!  
"DbTRc ,$U  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |YOBJ<8 ~@  
cx:Jgr  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) V~Sn 6m%J  
9]HUt`/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) p|] *qZ9  
P.uL+l$L  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +,{ %gwZ  
` :   
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) wAwR5%j  
|+>:a'DFX  
倍角公式 WQbELyBB  
x#)b*O4)JW  
　　Sin2A=2SinA•CosA  J[pVJj?  
\NI]7DvqZ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _qLwIP   
eUPMasOY  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {St.709  
%`(SHQ\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  f- t'Ea  
Pj|d37`z\  
三倍角公式 K"m [zw)  
Yi>uGv~#  
　　 W |rv d  
UXb.hf  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \27(`-H  
X%0_w[NF  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ?c`[+^ a`  
o6m ex$upE  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k]BT8T 9l  
6pn#Xa  
三倍角公式推导 ziLl-:h(  
sibLZ]:iz  
　　sin3a 0R|!B:!  
dTVP vnl  
　　=sin(2a+a)  Xxf8W?  
 a#W  
　　=sin2acosa+cos2asina 4`vnRd<  
]oC^N2  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina D_/`D,&E  
ZF jo,>:"t  
　　=3sina-4sin³a gG >5:1bva  
]P,&fH~  
　　cos3a 2Gl1&={  
7oI41%EE  
　　=cos(2a+a) F}gKEP'v  
:v )Aq0R.  
　　=cos2acosa-sin2asina  0{whXZJ  
JycsAM$+ r  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 36e'yk@  
QB~+\lc \  
　　=4cos³a-3cosa 0fb[$1  
npV$!)!  
　　sin3a=3sina-4sin³a /Vy~slw 4  
$Xz@zH A]  
　　=4sina(3/4-sin²a) J|<G,Ty  
Q/K2P `:  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 8""s-   
^.Q $0Q3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) *a#=m,n  
p2*?/`~QS  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) nj9OM ;  
,LJ) #z)  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  1u!At  
}H*Z 3~9>A  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7_9L.'h7  
Tf`nBc:HC  
　　cos3a=4cos³a-3cosa wx-sn.Q  
yc{"kSH  
　　=4cosa(cos²a-3/4) E8% YKE  
_vE =6W  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] c` )vSh]  
Pm`5N"%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 3P>b >Kh  
x yi[J}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) @]~6TAqNX%  
Y8U)O:}P  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} [:\@@Yw  
Q P.YE*  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) a'=7}3:K@  
,|HlJ Ez  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] iBtcm1jkZ  
?}=45+|JyN  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] BAL`7Ig=  
DkA(E6S:  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 05ry#9/m  
afA 0R`Q  
　　上述两式相比可得 T&-t f2  
q&.?%Bd;e  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8Lf5sGw-0  
Hv#2s.-N!{  
半角公式 PVD]>@o  
-g?4yu  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ZNj}qH=B  
=OJ`I$J  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. EY0VE&D5[  
E>Szw~X  
和差化积 D5v)o*F=<  
`R&&gQ0Nd  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] kJNukGZJv2  
^a`Cl^c  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] yr^-s"b-$f  
|1(2@u#~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JR!z=|z  
u|G.~   
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] as[E 7  
g LF^a  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c _&R  
r=KeG_"3E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) D7twd }H  
9<M^)dAT  
积化和差 %6,$Xu-  
\ Gab"+b  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 9\-`Y\^ u  
&tF'U?/J  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Fm5giyQ  
se~"hC@I  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] E(@#F3O}B  
& 0QPE.  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] H twZw ~  
:{_ +\k  
诱导公式 PAM%&PLHI<  
oei9,C;>  
　　sin(-α) = -sinα xMC<?O  
 2qRSq%>  
　　cos(-α) = cosα u?Zp9wB  
71(dYM=  
　　sin(π/2-α) = cosα OrL6h.T_  
fl5:aW9j  
　　cos(π/2-α) = sinα  Np1N5D2  
z#^5 :[d  
　　sin(π/2+α) = cosα  ;#"Zq*G  
<B!&]YW9  
　　cos(π/2+α) = -sinα |yd6X,CD  
DaO7fJ0pXc  
　　sin(π-α) = sinα i%J\P +N4  
/oeSiF|=  
　　cos(π-α) = -cosα A! *,1t  
#!zOqhNI  
　　sin(π+α) = -sinα +L^?23E  
a&V$h/  
　　cos(π+α) = -cosα 1]dh^~g},L  
^4~fK:!  
　　tanA= sinA/cosA SowvK|.lv  
Z3rDw=WfU  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα S :?, #,  
 Bb$.DR  
　　tan（π/2－α）＝cotα y; 6'KaA  
?o@!Lr v  
　　tan（π－α）＝－tanα  =zl'0   
UwsOC=  
　　tan（π＋α）＝tanα K;3O d  
WR/nU ~f  
万能公式 $ym8(x{{  
z09E/X<  
　　 HBF+|?YJh  
)6YQPr*X  
其它公式 ,XB{q\r  
?@: iOwI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Ow*sUTVRv  
xFS L)"6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 tR/hn~G@  
9J?q5Euh  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 UA]o>UI#  
gq@+;7T9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 P+W2c  
5d}U vna  
　　对于任意非直角三角形,总有 \ *wHN  
.&u7SJBu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC sR;TWlNeZR  
|mAQ?DrC  
　　证: wU0!"j'c  
Tp8Kl(=  
　　A+B=π-C +b:8O0,  
0 =Ja-s2  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Ie=',j  
Z;*; m\>J  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2\5b~p2  
lN \,E<  
　　整理可得 D!mo$l0'  
UA30CMu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -dx<`~;Xr  
:_sAr '*  
　　得证 X&8KZ87w  
;GI{[  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 82|B#}.  
!*b7ju_$  
其他非重点三角函数 zU'0hk  
mew8ud Q  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?T hMa7  
:twZ{~.}4  
　　sec(a) = 1/cos(a) *wmN8nl  
2Qe W 6  
　　 HtDcO}  
<q['BWl06  
双曲函数 />{f 9{  
Sp=6,F5  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ~wL W.rni  
Gw9'w~:Zi  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 $@R!x`(I  
|f`YyPE,R  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _m{VvcWH6  
dm(4@.)  
　　公式一： |NNhkoD  
hr+?&O_+-f  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $Im\=U>  
w/ #zQEzd  
　　sin（2kπ＋α）= sinα $kw0<~B  
_I\}mFypo?  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >[Af\Vb~  
wF81%5(3  
　　tan（kπ＋α）= tanα Ms:r)  
F*f9{e06  
　　cot（kπ＋α）= cotα :;,j1d  
>h?wHX  
　　公式二： Ne) Nk4@g  
2P[_&|5zh  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： T8bm=kwq#  
@;`Xz@m  
　　sin（π＋α）= -sinα cn~4z [[  
;<y=$qE{7  
　　cos（π＋α）= -cosα MBPI i%r  
DkOU\SY&w  
　　tan（π＋α）= tanα P\]~XA  
53mY}+m^y  
　　cot（π＋α）= cotα ,nHso   
QE Tu"W  
　　公式三： Iu h>P,y  
H\%LeW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： {F$ 'U ZO  
8\APwC!J  
　　sin（-α）= -sinα 5#%O~N'6Hq  
@#\x%q6  
　　cos（-α）= cosα fG='=K~)1  
GPlB?i 4  
　　tan（-α）= -tanα -Eg]"H1_M  
)&o67ex9  
　　cot（-α）= -cotα  H R  
g1kD-  
　　公式四： CI"[,>P W  
aYr"2Rr  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： y~X[)8 h^  
n8uZYB  
　　sin（π-α）= sinα %BT6HUO0  
]k3zYrPy  
　　cos（π-α）= -cosα -wW ""t_  
3,1@Iwm+  
　　tan（π-α）= -tanα hC,[%  
zqx;kA <  
　　cot（π-α）= -cotα IsLDm/  
;- @P>{kK  
　　公式五： L2{= T*b&i  
hPMl<o4  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ~L%7*y4  
XPT  
　　sin（2π-α）= -sinα Ln "O8k  
W>V&6k%'  
　　cos（2π-α）= cosα X w t [_  
M&Zfeg-  
　　tan（2π-α）= -tanα .Q\-XAAid  
j8}H u:8<.  
　　cot（2π-α）= -cotα vDTE)Bn2  
dD`l1xYFOS  
　　公式六： MqNm  
AzVR@<$=  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )/L6$uC,g_  
1on(,-WDd  
　　sin（π/2+α）= cosα z+ydoaF)^  
E~<Eg.<kU  
　　cos（π/2+α）= -sinα -hAna/uB  
Wg~QyL+Z  
　　tan（π/2+α）= -cotα x+Qy8xH[  
kY-G A  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2] d@)+Kf6  
hhx1sc-  
　　sin（π/2-α）= cosα 5Br&, <h  
Fg$pRu!6  
　　cos（π/2-α）= sinα @A C-t)9  
+mOh0m~  
　　tan（π/2-α）= cotα `$/G|'S8G"  
Z[xUv~>K  
　　cot（π/2-α）= tanα nM|&f`O  
W{T*u)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Pvl4AV_  
rP" h_c>p  
　　cos（3π/2+α）= sinα DIp 6r  
cD j{T%%  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Z:o%\uw  
4aL;Ge*  
　　cot（3π/2+α）= -tanα *:E+a  
w/*X O  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .N|0H=-Og  
_p,  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,O4C  
:C@ig 6  
　　tan（3π/2-α）= cotα I\8( {sJ  
. GA 8pP  
　　cot（3π/2-α）= tanα -]h='Y  
NI2iLZv  
　　(以上k∈Z) >%c*!LR\b  
n;+/4p'  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ts5jqRP  
iy4kW0ja!^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = X1jH]v`  
DE w[K Ufv  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } y='959  
5({' }w  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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